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quinta-feira, 11 de outubro de 2012

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$$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$
$$ k \displaystyle \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{array}{c} k \\ n \\ \end{array} \right) x^n = kg(x), \ \ \mid x \mid < 1 $$
$$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$
 $$n \mapsto a_n $$ Definição Uma sequência é uma função cujo dominio é o conjunto dos números naturais. $$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$ $$n \mapsto a_n $$ \newline \textbb {NOTAÇÃO:} A sequência $ \{ a_1, a_2, a_3,... a_n \} $ é tambem denotada por \newline $$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$ \newline
Definição Uma sequência é uma função cujo dominio é o conjunto dos números naturais. $$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$ $$n \mapsto a_n $$ NOTAÇÃO: A sequência $ \{ a_1, a_2, a_3,... a_n \} $ é tambem denotada por $$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$ Uma sequência $ \{ a_n \} $ tem \textbf {limite L} e escrevemos $$\lim_{n\to \infty}{a_n } = {L}$$ \newline se para cada $ \epsilon $ existir um inteiro $\mathbb{N}$ tal que $ n > N \Rightarrow \left| a_n - L\right| < \epsilon $ \newline \newline Se $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n } $ exstir, dizemos que a sequência é \textbf{Convergente}. Caso contrário, dizemos que é Divergente. Teorema \begin{teo} Se $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)= L $ e $ { f(x) = a_n } $ quando n é inteiro, então $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n= L $ . \end{teo} \begin{center} \fbox { \parbox {11,8cm} { \begin{defi} Se $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n } = {\infty}$ significa que para cada número positivo M existe um inteiro N tal que $ n > N \Rightarrow a_n > M $ . \end{defi} }} \end{center} \begin{teo}[Leis do limites] Se $ \{a_n\} $ e $\{b_n\} $ forem sêquencias convergentes e c for uma constante, então: \newline \newline \newline \flushleft { $\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n $ \newline \newline $ \lim c = c $ \newline \newline $ \lim ca_n = c\lima_n $ \newline \newline $ \lim (a_n b_n) = \lim a_n . \lim b_n $ \newline \newline $ \lim ( \frac {a_n}{b_n} ) = \frac {\lim a_n}{\lim b_n} , se \lim b_n \neq 0 $ \newline \newline $\lim (a_n)^p = [\lim a_n]^p $, se $p > 0$ e $a_n > 0 $ \newline \newline \end{teo} } \begin{teo}[Teorema do Confronto] Se $a_n \leq b_n\leq c_n $ para $n\geq n_0$ e $ \lim a_n = \lim c_n = L $, então $\lim b_n = L$.
  ∫ ∬ ∮ ∬ ∭  

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