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domingo, 13 de maio de 2012

A conjectura de Poincaré

Como mostrado na postagem Quer ser um milionario: Problemas valendo 1 milhão conjectura de Poincaré é um dos sete Problemas do Milênio estabelecidos pela Clay Mathematics Institute Prize em 2000. Ela foi formulada no ano de 1904 pelo grande matemático francês Henri Poincaré, e desde essa data que permanecia sem solução. Durante cem anos ninguém conseguiu decidir se a conjectura era verdadeira ou falsa, e isto apesar dos esforços de gerações de matemáticos para chegar a uma resposta.

A conjectura é uma questão sobre topologia, o ramo da matemática que estuda as propriedades geométricas de superfícies e espaços que não se alteram quando estes espaços são deformados de forma progressiva. Isto quer dizer, por exemplo, que aos olhos da topologia as superfícies de uma bola de futebol e de uma bola de râguebi ( futebol americano ) são indistintas, pois são superfícies de dimensão 2 que podem ser obtidas uma da outra por deformação. Ao invés, a superfície de um donut já é distinta das anteriores, pois apesar de ter também 2 dimensões, já tem um buraco no meio, e por muito que a superfície seja deformada (sem rasgar, partir ou colar), não se consegue transformá-la na superfície de uma bola, pois o buraco permanecerá sempre lá.


Uma outra propriedade que distingue a superfície de uma bola da de um donut é a seguinte: imagine-se que se desenha um contorno fechado na superfície da bola; então este contorno fechado pode sempre ser progressivamente encolhido até ficar um só ponto; na superfície do donut já não é assim, pois se o contorno for desenhado de forma a dar a volta ao buraco central, então é impossível encolher o contorno para além do tamanho do buraco, e, portanto não é possível reduzi-lo a um só ponto. De facto, pode-se demonstrar matematicamente que a superfície de uma bola, ou esfera, é a única superfície fechada de dimensão 2 na qual todos os contornos ou caminhos desenhados podem ser encolhidos até ficarem um só ponto.

A Conjectura de Poincaré é exatamente esta mesma questão, mas para superfícies e espaços de dimensão 3 (que já são mais difíceis de visualizar, mas ainda fazem sentido matematicamente).
Um aspecto curioso desta história é que, em todas as dimensões diferentes de 3, há já muito tempo que os resultados análogos à Conjectura de Poincaré tinham sido demonstrados. De facto, os resultados em dimensão 2 descritos atrás são clássicos, já conhecidos na época de Henri Poicaré; em 1960 o americano Stephen Smale demonstrou a conjectura para espaços de dimensão maior ou igual a 5; finalmente em 1982 o caso da dimensão 4 foi resolvido por Michael Freedman, e requereu uma solução de longe mais complicada que todas as anteriores. A dimensão 3, no entanto, a dimensão que tinha sido originalmente estudada por Poincaré, permanecia inexpugnável. 
Em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão, alegando que, pela solução do problema, o reconhecimento já era suficiente.
Por alguns anos matemáticos de todo o mundo, peritos nas técnicas e dificuldades da Conjectura de Poincaré, esforçaram-se arduamente por perceber os elaborados métodos de Perelman, examinaram em detalhe os seus argumentos, procuraram falhas nos seus raciocínios. No fim de contas ficaram satisfeitos, as dificuldades foram sempre ultrapassadas e as dúvidas esclarecidas. Foi portanto assim, gradualmente, que a solução de Perelman foi aceite pela comunidade matemática, e foi também assim que, passados cem anos, a Conjectura de Poincaré passou à categoria de teorema, que significa «afirmação demonstrada».

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