MS-matematica: binômio de Newton

Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

${\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!$

Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\!$ , onde $n\,$ e $k\,$ são inteiros, $k\leq n\,$ e $x! = 1 \times 2 \times \ldots x\,$ é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ${n\choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k.

A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x+y)ⁿ

Desenvolvendo o binômio (x + y)ⁿ, n ∊ ℕ, encontramos: (x+y)ⁿ=

Toda potência da forma (x+y)ⁿ, com x,y ∊ ℜ e n ∊ ℕ, é conhecido como binômio de Newton. O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já estudou no ensino fundamental.

Você aprendeu que:

a) (x+y)⁰= 1 -1 termo.

b) (x+y)¹= 1x + 1y -2 termos.

c) (x+y)²= 1x² + 2xy + 1y² -3 termos.

d) (x+y)³= 1x³ + 3x²y+3xy² +1y³ -4 termos.

e) (x+y)⁴= ?

Um dos processos para determinar (x+y)⁴é efetuar o produto (x+y)³(x+y) que você já conhece e sabe que muita “mão de obra”.

E se continuar aumentando o expoente do binômio. Como fica?

Em casos como (x+y)⁷, (2x-y)⁵, (x+2)¹⁰ e tantos outros, vamos recorrer à
análise combinatória.

Observe os exemplos:

O número de termos é dado pelo n+1 termos

- O n é o valor do expoente do binômio

- O expoente de x decresce de n até 0

- O expoente de y cresce de 0 até n.

- O desenvolvimento do binômio (x + y)ⁿ é um polinômio.

- O desenvolvimento de (x + y)ⁿ possui (n + 1) termos.

- Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (x + y)ⁿ são iguais.

- A soma dos coeficientes de (x + y)ⁿ é igual a 2ⁿ.

Triângulo de Pascal e o binomio de Newton

A matemática tem a particularidade de relacionar ideias que, à primeira vista, parecem completamente independentes. É o que se passa com o triângulo de Pascal e com a fórmula binomial de Newton.

Cada linha do triângulo de Pascal representa os coeficientes do desenvolvimento de uma determinada potência do binómio (a+b).

REFERÊNCIAS:

CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.