PLIMPTON 322

A Plimpton 322 é uma tábua de argila, parcialmente quebrada, medindo cerca de 13 cm de largura, 9 cm de altura, e 2 cm de espessura que foi recuperado a partir de um lugar desconhecido no deserto do Iraque, possui escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica. Esta tábua foi escrita aproximadamente entre 1900 a 1600 a.C.

O nome Plimpton é homenagem ao editor nova-iorquino George A. Plimpton que comprou a tabua a partir de um vendedor de arqueologia e a doou com o resto de sua coleção para Columbia University, no meio da década de 1930.

Contém 3 colunas praticamente completas de caracteres, sendo, provavelmente, os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos inteiros. A quarta coluna é fortemente afetada pois a tábua está quebrada exatamente sobre ela.

Outro ponto que percebemos é que o sistema não foi escrito na base 10, mas sim em base 60 - e foi um verdadeiro sistema de base flutuante de modo a que vai de 1 e 60 e a partir daí todos os números poderiam ser obtidos através da combinação destes, a fim de escrever a partir da esquerda para a direita como o que fazemos. Algum tempo antes do ano 300 aC, mas depois de Plimpton 322, foi escrito um símbolo especial concebida como um zero, mas em Plimpton 322 há potencial confusão por causa deste problema. A forma convencional de escrever números sexagesimais base flutuante é usando separadores de vírgula, para que 1,29 é 60 + 29 = 89 em notação decimal, e 1,1,1 é 3661.

Transcrito com os nossos números, dá os seguintes valores:

Um dos grandes feitos matemáticos dos gregos, posterior muitos séculos à tábua de Plimpton 322, foi mostrar que todos os ternos Pitagóricos Primitivos (a,b,c) são dados parametricamente por:

a = 2uv, b = u² − v² e c = u² + v² com u > v , sendo u e v primos entre si.

Se o Plimpton 322 for uma lista de ternos pitagóricos, com base nessas informações acima é possível reconstruir uma tabela onde (a,b,c) são respectivamente os catetos e a hipotenusa de triângulos retângulos. Porem iremos perceber que haverá alguns erros, talvez sejam erros de escrita ou de cálculo. Esses erros estarão de vermelho nas imagens abaixo.

A segunda coluna possui os valores da largura, ou seja, de um cateto b

A terceira coluna são os valores da diagonal, ou seja, a hipotenusa c

Os erros:

O número [9, 1] na linha 9 deve ser [8, 1] - um erro de cópia simples.

[7,12,1] na linha 13 é o quadrado de [2,41], o que seria o valor correto - um erro particularmente fácil de fazer, desde as praças também aparecem no cálculo de conjectura.

O valor correcto para substituir [53] na linha 15 é [1,46], o qual é duas vezes o valor errada.

Como para o quarto erro na linha 2, onde [3,12,1] ocorre em vez de [1,20,25], tem havido um par de soluções propostas.

Com os dados acima construímos uma tabela com tais valores, calculamos os catetos a que não estão presentes no Plimpton 322

Percebemos que os babilônicos, muito antes de Pitágoras, já conheciam os ternos pitagóricos.

Referências:

Jean Giraud - Projeto SOCRATES COMENIUS - Disponível em: http://coll-ferry-montlucon.planet-allier.com/ancien_site/tabplim1.htm> acesso em: 19 de janeiro de 2015.

Eleanor Robson - Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment

of Plimpton 322 Disponível em: http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf> acesso em: 19 de janeiro de 2015.

Bill Casselman - Disponível em: http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html> acesso em: 19 de janeiro de 2015.
As imagens foram retiradas do google imagens.

O Último Teorema de Fermat

        ‘’ Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito estreita para conte-la’’  Pierre de Fermat

Pierre de Fermat trabalhava como conselheiro e em seu tempo livre dedicava-se à Matemática. Fermat ficou conhecido como o "Príncipe dos Amadores" por ter descoberto as leis da probabilidade, os fundamentos do cálculo diferencial e elegantes e difíceis teoremas sobre números inteiros.

O último teorema de Fermat tem suas origens na Grécia antiga, mas só atingira sua maturidade no século XVII quando o matemático francês Pierre de Fermat o colocara como um desafio para o resto do mundo. Essa anotação acima que foi feita por Pierre Fermat no livro Arithmética de Diófanes em 1637 mudaria a história da matemática. O último teorema de Fermat confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos tornou-se o santo graal da matemática.

Um teorema simples que até uma criança poderia entender seu enunciado – ‘’ provar que não existe solução em números inteiros positivos para a seguinte equação: xⁿ + yⁿ = zⁿ com para n maior do que 2.

Várias pessoas tentaram demonstrar esse problema aparentemente simples mais não conseguiram, até que surgiu um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o Último Teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, na biblioteca de sua cidade. Com medo da sucessão de fracassos de seus antecessores, durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas sua luta ainda não tinha terminado. Um erro o fez voltar às pesquisas por mais quatorze meses, até que em 1995 ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.

Gerhard Frey descobriu e Kenneth Ribet demonstrou que a conjectura de Taniyama-Shimura implicava o Ultimo Teorema de Fermat. A conjectura de Taniyama-Shimura permitiu a Andrew realizar seu sonho de menino, empregando um esforço intelectual e uma determinação difíceis de acreditar como possíveis a um ser humano.

A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos Números — abrangendo curvas elípticas, formas modulares e   representações galoisianas — as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat. Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o teorema.

Leia também outras postagem sobre esse tema:

DEMOSTRAÇÃO DO ÚLTIMO TEOREMA DEFERMAT

DOCUMENTÁRIO O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

CONJECTURA DE TANIYAMA-SHIMURA

LIVRO: “O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT”DE SIMON SINGH

Conjectura de Taniyama-Shimura

Yutaka Taniyama nasceu no ano de 1927 em Tóquio, e Goro Shimura nasceu poucos anos mais tarde em Hamamatsu uma cidade cerca de 240 km a oeste de Tóquio. Alguns anos após o fim da guerra Shimura procurava o volume 24 do Mathematisches Annalen na biblioteca da universidade de Tóquio, porém este se encontrava com o Taniyama. Shimura começou a Trocar correspondência com Taniyama e assim começaram uma frutífera amizade.

Os dois começaram a estudar as formas modulares. Formas modulares faz parte dos objetos mais bizarros e maravilhosos da matemática, são completamente complicada, estudada principalmente devido a sua simetria.

Certa vez Taniyama estudava os primeiros termos da série M de uma determinada forma modular quando reconheceu o padrão e percebeu que era idêntico a uma série E de uma equação elíptica.

(A equação elíptica vem da Grécia antiga e não tem relação nenhuma com simetria, vem de um mundo completamente diferente das formas modulares e ninguém imaginava que existisse algum elo entre esses dois assuntos. A série M é o DNA das formas modulares, assim como a série E é o DNA das equações elípticas.)

Taniyama examinou mais algumas formas modulares e cada caso a série M parecia corresponder perfeitamente a uma serie E de uma equação elíptica. Ele começou a imaginar que cada forma modular teria uma equação elíptica correspondente, porém faltavam provas concretas para tal afirmação.

Foi somente depois da morte de Taniyama (cometeu suicídio em 1958) que Shimura conseguiu acumular evidencias e fazer com que a teoria recebesse o título de conjectura, ou melhor, conjectura de Taniyama-Shimura. Contudo seria uma difícil tarefa provar a veracidade dessa conjectura.

Em 1985 Gerhard Frey afirmou que se existisse solução para o último teorema de Fermat, este teorema poderia ser transformado em uma curva elíptica, porem esta dita curva parecia (não provado por Frey) não ter correspondente modular. Ao completar a prova de Frey, Kenneth Ribet demonstrou que se toda curva elíptica semi-estável é modular, então o Último Teorema de Fermat é verdadeiro.

A partir do início de 1990, a maioria dos matemáticos acredita que a conjectura de Taniyama-Shimura não era acessível a prova. No entanto, Andrew Wiles não era um deles. Em 1993, depois de um esforço monumental de sete anos, Wiles quase provou (cometeu um pequeno erro) a conjectura de Taniyama-Shimura para classes especiais de curvas chamada curvas elípticas semi-estável. Em 1995 Wiles concluiu com êxito a parte errada da prova usando a teoria de Iwasawa, comprovando o caso semi-estável da conjectura de Taniyama-Shimura (Taylor e Wiles 1995, Wiles 1995) e, ao mesmo tempo, estabelecer o Último Teorema de Fermat como um verdadeiro.

O teorema Taniyama-Shimura tem grande importância porque permite que certos problemas da geometria algébrica sejam resolvidos com técnicas da teoria dos números e unifica dois campos distintos da matemática.

Referencias:

SINGH, Simon (1998). O último teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Editora Record.

Mathworld.wolfram.com/Taniyama-ShimuraConjecture

As Mulheres e a Matemática

“Mas quando uma pessoa pertencente ao sexo do qual, de acordo com nossos costumes e preconceitos, é forçada a enfrentar infinitamente mais dificuldades do que os homens para familiarizar-se com essas pesquisas dificílimas, e consegue com êxito, penetrar nas partes mais obscuras delas, não obstante, se para isso tenha de superar todas as barreiras existentes, então essa pessoa tem necessariamente, a mais nobre coragem, os mais extraordinários talentos e uma genialidade superior.”

Gauss, numa carta a Sophie Germain, referindo-se ao trabalho dela.

Durante séculos as mulheres sofreram discriminações, não sendo diferente no campo matemático e do campo cientifico. Esse é o principal motivo pelo qual não temos muitas mulheres na história da matemática. Vou mostrar, um resumo e um pouco da história feminina na Matemática. Algumas mulheres notáveis venceram preconceitos e obstáculos, se destacaram e tiveram seus nomes gravados na história dessa nossa fascinante Ciência, indo onde poucos homens foram capazes de chegar.

A primeira mulher que se destacou na nesta disciplina foi Theano, que viveu no século VI a.c, e foi uma das seguidoras de Pitágoras e também casou-se com ele. Os matemáticos e filósofos Pitágoras, Sócrates e Platão encorajavam e convidavam mulheres para estudar matemática.

A primeira mulher a fundar uma escola matemática foi a grega Hipácia, filha de um professor de matemática da universidade de Alexandria. Hepácia ficou famosa por ser uma grande solucionadora de problemas no século IV, ela também era obcecada pelo processo de demonstração logica.

Somente depois de 12 séculos após Hepácia, na Renascença, que surgiu outra mulher de influência na matemática; Maria Agnesi nasceu em Milão em 1718 e também era filha de matemático. Agensi foi reconhecida como uma das maiores mentes matemáticas da Europa e ficou conhecida por seus tratados sobre as tangentes às curvas.

A discriminação continuou ainda no século XX quando Emmy Noether foi impedida de ensinar na universidade de Gottingen. Ela era um grande gênio matemático, admirada por Einstein e seu mentor era o matemático David Hilbert.

Na França, o pais que mais discriminou as mulheres, uma mulher conseguiu vingar no século XX, Sophie Germain foi uma grande teórica dos números, resolveu alguns casos particulares do ‘Último Teorema de Fermat’, donde nasceu a definição de “números primos de Sophie Germain”.

Além de serem filhas de matemáticos (o que as ajudavam), tanto Noether como Hepácia e Agnesi nunca se casaram, esse era o sacrifício para que essas mulheres pudessem se dedicar a matemática. A grande matemática russa Sonya Kovaleusky é uma execao a regra, pois se casou e ainda conseguiu seguir com suas pesquisas matemáticas.

Essas são algumas mulheres que deixaram suas marcas na história da matemática, porem existem muitas que não mencionei aqui. Também vale lembrar que este é apenas um resumo sobre essas brilhantes mentes e vele a pena ler a biografia completa delas. Pretendo escrever, em outras postagens, sobre a biografia de cada uma delas.

Tales e Pitágoras + Pentalfa (Baixar)

O Pentalfa faz parte do primeiro livro da coleção jogos coma história: Dez matemáticos, dez quebra-cabeças, dez livros de bolso. Juntamente com a história de Teles e Pitágoras que são os primeiros indivíduos reconhecidos como matemáticos, a quem se atribui a paternidade de vários teoremas.

Tales nasceu em Mileto, na Ásia Menor. Acredita-se que, nas suas viagens, aprendeu Geometria com os egípcios e Astronomia com os babilónios. Todos aprendemos na escola o célebre Teorema de Tales, que diz respeito a uma proporcionalidade de comprimentos de segmentos, quando duas retas concorrentes são cortadas por duas retas paralelas.

Enquanto Tales estabeleceu alguns resultados basilares da Geometria, Pitágoras e os seus seguidores distinguiram-se mais no estudo dos números.

Pouco se sabe sobre a vida de Pitágoras. Contudo, acredita-se que nasceu por volta de 580 a.C. em Samos, uma ilha no mar Egeu. Após ter viajado, nomeadamente pelo Egito, regressou à sua terra natal e fundou uma escola. Os pitagóricos concentravam-se sobre quatro temas: a Aritmética, a Música, a Geometria e a Astronomia.

O Pentalfa é um puzzle para uma pessoa só e tem como objetivo a colocação de nove peças nas dez interseções de um pentagrama. As nove peças são colocadas à vez e devem obedecer às seguintes regras:

• Cada peça deve ir ao encontro de dois pontos, sendo o segundo, o seu destino final;

• Os dois pontos registados têm de estar alinhados e intercalados por um outro ponto;

• Apenas os pontos que são alcançados têm de estar livres. O ponto que está no meio dos dois pode, ou não, estar

Isso tudo e ainda mais estão presentes nesse PDF abaixo.

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Nicole d’ Oresme

Ao longo da história muitos matemáticos contribuíram para a construção e desenvolvimento dos conceitos, métodos e descobertas que hoje utilizamos e convivemos no nosso cotidiano.

Dentre eles iremos destaque Nicole Oresme (Nicole d’ Oresme) que foi considerado um gênio intelectual e provavelmente o pensador mais original do século XIV, sua data de nascimento não é muito precisa, alguns consideram que foi em1320 outros em 1323, seu falecimento ocorreu em 11 de julho de 1382.

Oresme além de matemático mostrava aptidão por diferentes áreas. Foi economista, físico, astrônomo, filósofo, psicólogo, musicólogo, astrólogo e teólogo. Sendo que como teólogo conseguiu assumir o posto de bispo de Lisieux, tradutor, conselheiro do rei Carlos V da França e um dos principais fundadores e divulgadores das ciências modernas.

Para estudar teologia e as artes liberais ingressou na universidade de Paris em 1340, onde mais tarde tornou-se professor e reitor desta mesma universidade. Já por volta de 1350 começou a se interessar pela matemática, em particular nas taxas de variação, como velocidade e aceleração. Nesse sentido ele foi o primeiro estudioso a apresentar gráficos de velocidade, em seu trabalho configurationibus, é importante destacar que essa foi considerada sua principal contribuição para a matemática. Entre tanto um texto do site Infopedia destaca que “No entanto, as técnicas algébricas e geométricas, ainda incipientes na altura, não permitiram que fosse mais longe neste estudo, sendo necessário esperar mais de 200 anos por Viète, Descartes e Fermat, que retomaram e desenvolveram ensaios naquelas áreas”.

Outra obra importante na sua carreira acadêmica foi Algoritmus Proportionum, em que utilizou a notação exponencial fracional e criou uma álgebra exponencial. Um de seus principais teoremas foi: teorema da divergência das séries harmônicas. 

Oresme foi um grande matemático que estudou diversas áreas, porém com os recursos da época ele não conseguiu provar suas descobertas, o que ocasionou o reconhecimento a outros estudiosos dos séculos posteriores, que conseguiram concluir as suas teses. Como exemplo podemos citar a descoberta da curvatura da luz através da refração atmosférica, onde o mérito foi dado a Robert Hook, outro que também levou o reconhecimento foi Galileu Galilei pelo teorema da velocidade média e pela lei da queda dos corpos.

História da Soluções Algébrica da Equação do 4º Grau

As equações do terceiro e quarto grau têm suas histórias de soluções algébricas bastante parecidas e que acontecem no mesmo momento, isto é, na Itália do século XVI. A solução algébrica da equação do 4º grau se deu graças ao matemático, Ludovico Ferrari.

Ferrari foi morar na casa do também matemático Girolamo Cardano, se tornou seu aluno. Como naquela época era comum os matemáticos proporem desafios uns aos outros através de resolução de questões, certo dia o matemático italiano Zuanne de Tonini da Coi propôs a Cardano que resolvesse o seguinte problema: dividir 10 em 3 partes tal que elas estejam em proporção continuada e que o produto das duas primeiras sejam 6.

Após várias tentativas sem obter êxito, Cardano desafiou seu aluno Ferrari a resolvê-lo. Muito inteligente que era acabou encontrando sua solução. Se as três partes são denotadas por x , y e z , tem-se que:

x + y + z = 10;

xz = y² (Proporção x : y = y : z );

xy = 6 .

Daí, resolver tal problema consistia basicamente em obter as soluções da equação x^4 + 6x² − 60x + 36 = 0. Portanto, foi dessa forma que Ferrari obteve uma fórmula geral para as soluções das equações do quarto grau. Contudo Ferrari não foi reconhecido pela resolução. O mérito foi dado somente a Cardano, pois foi que, com toda sua esperteza, assim como fez com as soluções da equação do 3º grau, acabou publicando também em seu nome as da equação do 4º grau. Desse modo, esses resultados vieram a público, em 1545, na obra de Cardano, Ars Magna.

Referencias:
GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2007.
BOYER, C.B. História da matemática. São Paul.o: Edgard Blucher,1996.

Dia Nacional da Matemática

“Na maioria das ciências uma geração destrói o que a outra construiu e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Apenas na Matemática cada geração acrescenta um novo andar na velha estrutura.” (Hermann Hankle)

Parabéns a matemática que vem sendo construída ao longo de muitos anos. Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e ainda assim a matemática continua a desenvolver-se permanentemente.

O dia da matemática é comemorado em 06 de maio em homenagem ao matemático Júlio César de Melo e Souza, mais conhecido como Malba Tahan. Além de professor de Matemática, ele é autor de inúmeras obras literárias, dentre elas ‘’ O Homem que Calculava’’, que relata as enigmáticas histórias de um calculista repleto de estratégias matemáticas na resolução de problemas cotidianos.

Parabéns a todos que Dividem a paixão pelos números e Multiplicam as Soluções para nossas vidas.